Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} 5 x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{1} x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 + x^{5}$ . Alors $d u = 5 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 + x^{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{5}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$0 + 5 x^{4}$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $5 x^{4}$ .

$5 x^{4}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{lower} = 3 + 0^{5}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$u_{lower} = 3$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{upper} = 3 + 1^{5}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 3 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{3}^{4} u^{4} \frac{1}{5} d u$

Étape 3

Associez $u^{4}$ et $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{3}^{4} \frac{u^{4}}{5} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Étape 5.3

Multipliez $\int_{3}^{4} u^{4} d u$ par $1$ .

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{3}^{4}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{5} u^{5}$ sur $4$ et sur $3$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $1024$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Étape 7.2.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 243$

Étape 7.2.4

Multipliez $243$ par $- 1$ .

$\frac{1024}{5} - 243 (\frac{1}{5})$

Étape 7.2.5

Associez $- 243$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1024}{5} + \frac{- 243}{5}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1024}{5} - \frac{243}{5}$

Étape 7.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1024 - 243}{5}$

Étape 7.2.8

Soustrayez $243$ de $1024$ .

$\frac{781}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{781}{5}$

Forme décimale :

$156.2$

Forme de nombre mixte :

$156 \frac{1}{5}$

Étape 9