Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{0}^{1} \cos (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos (x) d x$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{0}^{1} + \sin (x)]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $x (- \cos (x))]_{0}^{1}$ et $\sin (x)]_{0}^{1}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{0}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1 (- \cos (1)) + \sin (1)) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 (- \cos (0)) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 \cos (0) + \sin (0))$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - (0 + \sin (0))$

Étape 5.2.2.4

Additionnez $0$ et $\sin (0)$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - \sin (0)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) - 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1) + 0$

Étape 5.3.3

Additionnez $- \cos (1) + \sin (1)$ et $0$ .

$- \cos (1) + \sin (1)$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$- 1 \cdot 0.5403023 + \sin (1)$

Étape 5.4.2

Multipliez $- 1$ par $0.5403023$ .

$- 0.5403023 + \sin (1)$

Étape 5.4.3

Additionnez $- 0.5403023$ et $\sin (1)$ .

$0.30116867$