Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x (8 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{1} x (8 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $8$ .

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $x$ et $5$ .

$\int_{0}^{1} 8 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 8 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.8

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Étape 3.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Étape 3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Étape 3.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Étape 3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Étape 3.13

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 8 x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$8 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 7

Associez $\frac{3}{7}$ et $x^{\frac{7}{3}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{5}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1})$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{4}{9}$ et $x^{\frac{9}{4}}$ .

$8 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ sur $1$ et sur $0$ .

$8 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1})$

Étape 10.2.2

Évaluez $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ sur $1$ et sur $0$ .

$8 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $7$ .

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Étape 10.2.3.8.1

Factorisez $7$ à partir de $0$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.8.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 (\frac{3}{7} - 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 (\frac{3}{7} + 0) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.10

Additionnez $\frac{3}{7}$ et $0$ .

$8 (\frac{3}{7}) + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.11

Associez $8$ et $\frac{3}{7}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.12

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.14

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.15

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9})$

Étape 10.2.3.16

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

Étape 10.2.3.17

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.3.17.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9})$

Étape 10.2.3.17.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9})$

Étape 10.2.3.18

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9})$

Étape 10.2.3.19

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9})$

Étape 10.2.3.20

Annulez le facteur commun à $0$ et $9$ .

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Étape 10.2.3.20.1

Factorisez $9$ à partir de $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9})$

Étape 10.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.20.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Étape 10.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Étape 10.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1})$

Étape 10.2.3.20.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} - 0)$

Étape 10.2.3.21

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9} + 0)$

Étape 10.2.3.22

Additionnez $\frac{4}{9}$ et $0$ .

$\frac{24}{7} + 5 (\frac{4}{9})$

Étape 10.2.3.23

Associez $5$ et $\frac{4}{9}$ .

$\frac{24}{7} + \frac{5 \cdot 4}{9}$

Étape 10.2.3.24

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{24}{7} + \frac{20}{9}$

Étape 10.2.3.25

Pour écrire $\frac{24}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9}$

Étape 10.2.3.26

Pour écrire $\frac{20}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{24}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 10.2.3.27

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $63$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.27.1

Multipliez $\frac{24}{7}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 10.2.3.27.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7}$

Étape 10.2.3.27.3

Multipliez $\frac{20}{9}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7}$

Étape 10.2.3.27.4

Multipliez $9$ par $7$ .

$\frac{24 \cdot 9}{63} + \frac{20 \cdot 7}{63}$

Étape 10.2.3.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{24 \cdot 9 + 20 \cdot 7}{63}$

Étape 10.2.3.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.3.29.1

Multipliez $24$ par $9$ .

$\frac{216 + 20 \cdot 7}{63}$

Étape 10.2.3.29.2

Multipliez $20$ par $7$ .

$\frac{216 + 140}{63}$

Étape 10.2.3.29.3

Additionnez $216$ et $140$ .

$\frac{356}{63}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{356}{63}$

Forme décimale :

$5.\overline{650793}$

Forme de nombre mixte :

$5 \frac{41}{63}$

Étape 12