Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

Étape 1

Laissez $u = 3 π t$ . Alors $d u = 3 π d t$ , donc $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 π t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

Étape 1.1.2

Comme $3 π$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 π t$ par rapport à $t$ est $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 π$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $3 π \cdot 0$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

Étape 1.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

Étape 2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3 π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3 π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Étape 5

Évaluez $- \cos (u)$ sur $3 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

Étape 7.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

Étape 7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

Étape 7.7

Associez $\frac{1}{3 π}$ et $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3 π}$

Forme décimale :

$0.21220659 \dots$