Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{10} 3 e^{0.7 (10 - t)} d t$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{10} e^{0.7 (10 - t)} d t$

Étape 2

Laissez $u = 0.7 (10 - t)$ . Alors $d u = - 0.7 d t$ , donc $\frac{1}{- 0.7} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 0.7 (10 - t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $0.7 (10 - t)$ .

$\frac{d}{d t} [0.7 (10 - t)]$

Étape 2.1.2

Comme $0.7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.7 (10 - t)$ par rapport à $t$ est $0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [10 - t]$

Étape 2.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 2.1.4

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0.7 (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$0.7 \frac{d}{d t} [- t]$

Étape 2.1.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.7 (- \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0.7$ .

$- 0.7 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.7 \cdot 1$

Étape 2.1.9

Multipliez $- 0.7$ par $1$ .

$- 0.7$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{lower} = 0.7 (10 - 0)$

Étape 2.3

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Étape 2.3.1

Soustrayez $0$ de $10$ .

$u_{lower} = 0.7 \cdot 10$

Étape 2.3.2

Multipliez $0.7$ par $10$ .

$u_{lower} = 7$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 0.7 (10 - t)$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 1 \cdot 10)$

Étape 2.5

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Étape 2.5.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$u_{upper} = 0.7 (10 - 10)$

Étape 2.5.2

Soustrayez $10$ de $10$ .

$u_{upper} = 0.7 \cdot 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $0.7$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 7$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} \frac{1}{- 0.7} d u$

Étape 3

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int_{7}^{0} e^{u} (- \frac{1}{0.7}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.7}$ .

$3 \int_{7}^{0} - \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \int_{7}^{0} \frac{e^{u}}{0.7} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{0.7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.7}$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{1}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{0.7}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{0.7} \int_{7}^{0} e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{3}{0.7} e^{u}]_{7}^{0}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0$ et sur $7$ .

$- \frac{3}{0.7} ((e^{0}) - e^{7})$

Étape 9.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{3}{0.7} (1 - e^{7})$

Étape 10

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Étape 10.1

Divisez $3$ par $0.7$ .

$- 1 \cdot 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $4.\overline{285714}$ .

$- 4.\overline{285714} (1 - e^{7})$

Étape 10.3

Multipliez $- 4.\overline{285714}$ par $1 - e^{7}$ .

$4695.57067897$

Étape 11