Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} 8 + \sqrt[3]{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $8 x]_{0}^{8}$ et $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$ .

$8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $8 x + \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $0$ .

$(8 \cdot 8 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$64 + \frac{3}{4} \cdot 2^{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$64 + \frac{3}{4} \cdot 16 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.6

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$64 + \frac{3 \cdot 16}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $3$ par $16$ .

$64 + \frac{48}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.8

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 5.2.2.8.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$64 + \frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$64 + \frac{12}{1} - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.8.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$64 + 12 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.9

Additionnez $64$ et $12$ .

$76 - (8 \cdot 0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $8$ par $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.11

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Étape 5.2.2.12

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 5.2.2.13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.13.1

Annulez le facteur commun.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 5.2.2.13.2

Réécrivez l’expression.

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0^{4})$

Étape 5.2.2.14

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$76 - (0 + \frac{3}{4} \cdot 0)$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $0$ .

$76 - (0 + 0)$

Étape 5.2.2.16

Additionnez $0$ et $0$ .

$76 - 0$

Étape 5.2.2.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$76 + 0$

Étape 5.2.2.18

Additionnez $76$ et $0$ .

$76$

Étape 6