Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} 8 e^{- x} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{0}^{8} e^{- x} d x$

Étape 2

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 8$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$u_{upper} = - 8$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$8 \int_{0}^{- 8} - e^{u} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (- \int_{0}^{- 8} e^{u} d u)$

Étape 4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 8 (e^{u}]_{0}^{- 8})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 8$ et sur $0$ .

$- 8 ((e^{- 8}) - e^{0})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 8 (e^{- 8} - 1)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 e^{- 8} - 8 \cdot - 1$

Étape 7.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$- 8 e^{- 8} + 8$

Étape 7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{8}} + 8$

Étape 7.3.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{- 8}{e^{8}} + 8$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{8}{e^{8}} + 8$

Forme décimale :

$7.99731629 \dots$

Étape 9