Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Alors $d u = - \frac{3}{4} d x$ , donc $- \frac{4}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 - 3 x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Étape 1.1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 1.1.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $2 - 3 \cdot 0$ et $4$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

Étape 1.3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

Étape 1.3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

Étape 1.3.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

Étape 1.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun à $2 - 3 \cdot 8$ et $4$ .

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

Étape 1.5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

Étape 1.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

Étape 1.5.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

Étape 1.5.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $1$ de $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

Étape 1.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

Étape 2.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

Étape 2.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{4}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $- \frac{11}{2}$ et sur $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 6.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7.1.2

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7.1.4

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

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Étape 7.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7.1.4.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

Étape 7.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

Étape 7.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

Étape 7.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

Étape 7.1.8

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Étape 7.1.8.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

Étape 7.1.8.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

Étape 7.3

Soustrayez $1$ de $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Étape 7.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

Étape 7.4.3

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Étape 7.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

Étape 7.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

Étape 7.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 444}{6}$

Étape 7.6

Divisez $- 444$ par $6$ .

$- - 74$

Étape 7.7

Multipliez $- 1$ par $- 74$ .

$74$

Étape 8