Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ par $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 4.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 4.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

Étape 4.5.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$u_{upper} = - 7$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $x (- e^{1 - x})$ sur $8$ et sur $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

Étape 7.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 7$ et sur $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.6

Simplifiez

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.8

Multipliez $0$ par $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.9

Additionnez $- 8 e^{- 7}$ et $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

Étape 7.3.10

Simplifiez

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Étape 8.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

Étape 8.5

Multipliez $- - e$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

Étape 8.5.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

Forme décimale :

$2.71007489 \dots$

Étape 10