Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

Étape 1

Laissez $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Alors $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ , donc $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $3 y^{2} - 2 y + 5$ et $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

Étape 1.5.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

Étape 1.5.1.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $49$ de $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

Étape 1.5.3

Additionnez $294$ et $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

Étape 1.5.4

Additionnez $329$ et $1$ .

$u_{upper} = 330$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

Étape 3

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $330$ et sur $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $330$ est $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

Étape 5.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

Étape 5.3

Divisez $330$ par $1$ .

$\ln (330)$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (330)$

Forme décimale :

$5.79909265 \dots$

Étape 7