Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{1}{2} t} d t$

Étape 1

Associez $t$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{6} 10 e^{- \frac{t}{2}} d t$

Étape 2

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int_{0}^{6} e^{- \frac{t}{2}} d t$

Étape 3

Laissez $u = - \frac{t}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d t$ , donc $- 2 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - \frac{t}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- \frac{t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{2}]$

Étape 3.1.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = - \frac{t}{2}$ .

$u_{upper} = - \frac{6}{2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Divisez $6$ par $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$10 \int_{0}^{- 3} - 2 e^{u} d u$

Étape 5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- 2 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 2$ par $10$ .

$- 20 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 20 (e^{u}]_{0}^{- 3})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 3$ et sur $0$ .

$- 20 ((e^{- 3}) - e^{0})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1 \cdot 1)$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 20 (e^{- 3} - 1)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 20 e^{- 3} - 20 \cdot - 1$

Étape 9.2

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$- 20 e^{- 3} + 20$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{e^{3}} + 20$

Étape 9.3.2

Associez $- 20$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{- 20}{e^{3}} + 20$

Étape 9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{20}{e^{3}} + 20$

Forme décimale :

$19.00425863 \dots$

Étape 11