Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{7} x \sqrt[3]{x + 1} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sqrt[3]{x + 1}$ .

$x (\frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et ${(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \int_{0}^{7} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - (\frac{3}{4} \int_{0}^{7} {(x + 1)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Étape 4.5

Additionnez $7$ et $1$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \int_{1}^{8} u^{\frac{4}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}]_{0}^{7} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}$ sur $7$ et sur $0$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}]_{1}^{8}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ sur $8$ et sur $1$ .

$(\frac{7 (3 {(7 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4}) - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{7 (3 \cdot 8^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{7 (3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 (3 \cdot 2^{4})}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{7 (3 \cdot 16)}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{7 \cdot 48}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.7

Multipliez $7$ par $48$ .

$\frac{336}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $336$ et $4$ .

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Étape 6.3.8.1

Factorisez $4$ à partir de $336$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 84}{4 (1)} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 84}{4 \cdot 1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{84}{1} - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $84$ par $1$ .

$84 - \frac{0 (3 {(0 + 1)}^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1^{\frac{4}{3}})}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$84 - \frac{0 (3 \cdot 1)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$84 - \frac{0 \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.12

Multipliez $0$ par $3$ .

$84 - \frac{0}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 6.3.13.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$84 - \frac{4 (0)}{4} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$84 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$84 - \frac{0}{1} - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$84 - 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.14

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$84 + 0 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.15

Additionnez $84$ et $0$ .

$84 - \frac{3}{4} ((\frac{3}{7} \cdot 8^{\frac{7}{3}}) - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.16

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot {(2^{3})}^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.17

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.18

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.18.1

Annulez le facteur commun.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{3 (\frac{7}{3})} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.18.2

Réécrivez l’expression.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 2^{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.19

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} \cdot 128 - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.20

Associez $\frac{3}{7}$ et $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 128}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.21

Multipliez $3$ par $128$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}})$

Étape 6.3.22

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7} \cdot 1)$

Étape 6.3.23

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$84 - \frac{3}{4} (\frac{384}{7} - \frac{3}{7})$

Étape 6.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{384 - 3}{7}$

Étape 6.3.25

Soustrayez $3$ de $384$ .

$84 - \frac{3}{4} \cdot \frac{381}{7}$

Étape 6.3.26

Multipliez $\frac{381}{7}$ par $\frac{3}{4}$ .

$84 - \frac{381 \cdot 3}{7 \cdot 4}$

Étape 6.3.27

Multipliez $381$ par $3$ .

$84 - \frac{1143}{7 \cdot 4}$

Étape 6.3.28

Multipliez $7$ par $4$ .

$84 - \frac{1143}{28}$

Étape 6.3.29

Pour écrire $84$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{28}{28}$ .

$84 \cdot \frac{28}{28} - \frac{1143}{28}$

Étape 6.3.30

Associez $84$ et $\frac{28}{28}$ .

$\frac{84 \cdot 28}{28} - \frac{1143}{28}$

Étape 6.3.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{84 \cdot 28 - 1143}{28}$

Étape 6.3.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.32.1

Multipliez $84$ par $28$ .

$\frac{2352 - 1143}{28}$

Étape 6.3.32.2

Soustrayez $1143$ de $2352$ .

$\frac{1209}{28}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1209}{28}$

Forme décimale :

$43.17857142 \dots$

Forme de nombre mixte :

$43 \frac{5}{28}$

Étape 8