Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{9} 18 x - 27 x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{9} 18 x d x + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Étape 2

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$18 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - 27 x^{2} d x$

Étape 5

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 27$ en dehors de l’intégrale.

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 \int_{0}^{9} x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) - 27 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $9$ et sur $0$ .

$18 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{9})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $9$ et sur $0$ .

$18 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$18 (\frac{81}{2} - 0) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$18 (\frac{81}{2} + 0) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.5

Additionnez $\frac{81}{2}$ et $0$ .

$18 (\frac{81}{2}) - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.6

Associez $18$ et $\frac{81}{2}$ .

$\frac{18 \cdot 81}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $18$ par $81$ .

$\frac{1458}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8

Annulez le facteur commun à $1458$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $1458$ .

$\frac{2 \cdot 729}{2} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 729}{2 (1)} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 729}{2 \cdot 1} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{729}{1} - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8.2.4

Divisez $729$ par $1$ .

$729 - 27 (\frac{9^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$729 - 27 (\frac{729}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10

Annulez le facteur commun à $729$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$729 - 27 (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$729 - 27 (\frac{243}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.4

Divisez $243$ par $1$ .

$729 - 27 (243 - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$729 - 27 (243 - \frac{0}{3})$

Étape 7.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$729 - 27 (243 - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 7.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$729 - 27 (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$729 - 27 (243 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$729 - 27 (243 - \frac{0}{1})$

Étape 7.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$729 - 27 (243 - 0)$

Étape 7.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$729 - 27 (243 + 0)$

Étape 7.2.3.14

Additionnez $243$ et $0$ .

$729 - 27 \cdot 243$

Étape 7.2.3.15

Multipliez $- 27$ par $243$ .

$729 - 6561$

Étape 7.2.3.16

Soustrayez $6561$ de $729$ .

$- 5832$

Étape 8