Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 2

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , placez $0.5$ en dehors de l’intégrale.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$u_{upper} = 18$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 6

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $9$ et sur $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

Étape 10.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $18$ et sur $0$ .

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

Étape 10.3

Évaluez $3 x$ sur $9$ et sur $0$ .

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.5

Additionnez $\frac{81}{2}$ et $0$ .

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.6

Associez $0.5$ et $\frac{81}{2}$ .

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.7

Multipliez $0.5$ par $81$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

Étape 10.4.9

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

Étape 10.4.10

Additionnez $27$ et $0$ .

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

Étape 10.4.11

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.4.12

Associez $27$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

Étape 10.4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

Étape 10.4.14

Multipliez $27$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

Étape 10.4.15

Additionnez $40.5$ et $54$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

Étape 11

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Évaluez $\cos (18)$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $0.6603167$ .

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

Étape 12.3

Additionnez $- 0.6603167$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $0.33968329$ .

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

Étape 12.5

Divisez $0.33968329$ par $2$ .

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

Étape 12.6

Divisez $94.5$ par $2$ .

$0.16984164 + 47.25$

Étape 12.7

Additionnez $0.16984164$ et $47.25$ .

$47.41984164$