Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Alors $d u = \frac{1}{4} d x$ , donc $4 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{x}{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Étape 1.1.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Étape 1.3

Divisez $0$ par $4$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\ln (16)$ comme $\ln (2^{4})$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

Étape 1.5.2

Développez $\ln (2^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

Étape 1.5.3.2

Divisez $\ln (2)$ par $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

Étape 2.3

Déplacez $4$ à gauche de $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $u$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\ln (2)$ et sur $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$4 (2 - e^{0})$

Étape 5.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 (2 - 1)$

Étape 5.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6