Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{e} x + \frac{1}{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{e} x d x + \int_{0}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e} + \int_{0}^{e} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e} + \ln (| x |)]_{0}^{e}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{e}$ et $\ln (| x |)]_{0}^{e}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)]_{0}^{e}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)$ sur $e$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} e^{2} + \ln (| e |)) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \ln (| 0 |))$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \ln (| 0 |))$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \ln (| 0 |))$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - (0 + \ln (| 0 |))$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $0$ et $\ln (| 0 |)$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (| e |) - \ln (| 0 |)$

Étape 4.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{| 0 |})$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Étape 4.4.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Étape 4.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{e^{2}}{2} + \ln (\frac{| e |}{0})$

Étape 5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini