Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

Étape 1

Développez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \sin (x))}^{2}$ comme $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 1.7

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 1.8

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

Étape 1.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

Étape 1.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

Étape 1.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 1.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Étape 1.13

Additionnez $\sin (x)$ et $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Étape 6

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (x)$ en $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Étape 11

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 11.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 11.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 11.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 11.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 11.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 11.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 11.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 12

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 15

Remplacez et simplifiez.

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Étape 15.1

Évaluez $x$ sur $π$ et sur $0$ .

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 15.2

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 15.3

Évaluez $x$ sur $π$ et sur $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Étape 15.4

Évaluez $\sin (u)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Étape 15.5

Simplifiez

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Étape 15.5.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Étape 15.5.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Étape 16.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Étape 16.4

Additionnez $\sin (2 π)$ et $0$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Étape 16.5

Associez $\sin (2 π)$ et $\frac{1}{2}$ .

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Étape 17.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.7.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Étape 17.7.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Étape 17.8

Divisez $0$ par $2$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

Étape 17.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Étape 17.10

Additionnez $π$ et $0$ .

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

Étape 17.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$π + 4 + \frac{π}{2}$

Étape 17.12

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Étape 17.13

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

Étape 17.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

Étape 17.15

Additionnez $π \cdot 2$ et $π$ .

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Étape 17.15.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

Étape 17.15.2

Additionnez $2 \cdot π$ et $π$ .

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 π}{2} + 4$

Forme décimale :

$8.71238898 \dots$