Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} \frac{1}{25 + x^{2}} d x$

Étape 1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{1}{5^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{5^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$ .

$\frac{1}{5} \arctan (\frac{x}{5})]_{0}^{5}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $\arctan (\frac{x}{5})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}]_{0}^{5}$

Étape 3.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{5})}{5}$ sur $5$ et sur $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5}) - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (\frac{5}{5})}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{5})}{5}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 (0)}{5})}{5}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Étape 3.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})}{5}$

Étape 3.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{5}$

Étape 3.2.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{5} - \frac{\arctan (0)}{5}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{5}$

Étape 3.3.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{5}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{5}$

Étape 3.3.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{5}$

Étape 3.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 5}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{π}{20}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{20}$

Forme décimale :

$0.15707963 \dots$

Étape 5