Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) + 4 \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{5 π} - 3 \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Étape 2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int_{0}^{5 π} \sin (x) d x + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + \int_{0}^{5 π} 4 \cos (x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 \int_{0}^{5 π} \cos (x) d x$

Étape 5

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$- 3 (- \cos (x)]_{0}^{5 π}) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $5 π$ et sur $0$ .

$- 3 ((- \cos (5 π)) + \cos (0)) + 4 (\sin (x)]_{0}^{5 π})$

Étape 6.1.2

Évaluez $\sin (x)$ sur $5 π$ et sur $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + \cos (0)) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - \sin (0))$

Étape 6.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) - 0)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 (\sin (5 π) + 0)$

Étape 6.2.4

Additionnez $\sin (5 π)$ et $0$ .

$- 3 (- \cos (5 π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 3 (- \cos (π) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 3 (- - \cos (0) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 3 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 (- - 1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 + 1) + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 3 \cdot 2 + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.7

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 + 4 \sin (5 π)$

Étape 6.3.8

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 6 + 4 \sin (π)$

Étape 6.3.9

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 6 + 4 \sin (0)$

Étape 6.3.10

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 6 + 4 \cdot 0$

Étape 6.3.11

Multipliez $4$ par $0$ .

$- 6 + 0$

Étape 6.3.12

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$- 6$