Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} \cos (5 x) d x$

Étape 1

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 5$

Étape 1.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{25} \cos (u) \frac{1}{5} d u$

Étape 2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\cos (u)}{5} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{25} \cos (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{5} \sin (u)]_{0}^{25}$

Étape 5

Évaluez $\sin (u)$ sur $25$ et sur $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - \sin (0))$

Étape 6

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) - 0)$

Étape 6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{5} (\sin (25) + 0)$

Étape 6.3

Additionnez $\sin (25)$ et $0$ .

$\frac{1}{5} \sin (25)$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sin (25)$ .

$\frac{\sin (25)}{5}$

Étape 7

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Étape 7.1

Évaluez $\sin (25)$ .

$\frac{- 0.13235175}{5}$

Étape 7.2

Divisez $- 0.13235175$ par $5$ .

$- 0.02647035$