Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 3^{3}} d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 1 \cdot 27} d x$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\int_{0}^{3} \frac{2}{x - 27} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{3} \frac{1}{x - 27} d x$

Étape 3

Laissez $u = x - 27$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x - 27$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x - 27$ .

$\frac{d}{d x} [x - 27]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 27]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 27]$

Étape 3.1.4

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 27$ .

$u_{lower} = 0 - 27$

Étape 3.3

Soustrayez $27$ de $0$ .

$u_{lower} = - 27$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 27$ .

$u_{upper} = 3 - 27$

Étape 3.5

Soustrayez $27$ de $3$ .

$u_{upper} = - 24$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 27$

$u_{upper} = - 24$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$2 \int_{- 27}^{- 24} \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |)]_{- 27}^{- 24})$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 24$ et sur $- 27$ .

$2 (\ln (| - 24 |) - \ln (| - 27 |))$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| - 24 |}{| - 27 |})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 24$ et $0$ est $24$ .

$2 \ln (\frac{24}{| - 27 |})$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 27$ et $0$ est $27$ .

$2 \ln (\frac{24}{27})$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $24$ et $27$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$2 \ln (\frac{3 (8)}{27})$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \ln (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 9})$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \ln (\frac{8}{9})$

Forme décimale :

$- 0.23556607 \dots$

Étape 9