Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

Étape 1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = 3^{- x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $3^{- x}$ et $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Étape 3.2

Associez $x$ et $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

Étape 3.3

Associez $3^{- x}$ et $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Étape 5.2

Multipliez $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ par $1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{\ln (3)}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{\ln (3)}$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

Étape 7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

Étape 9

L’intégrale de $3^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

Étape 10

Associez $\frac{1}{\ln (3)}$ et $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ sur $3$ et sur $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

Étape 11.2

Évaluez $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ sur $- 3$ et sur $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{27}$ .

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.5

Annulez le facteur commun à $3$ et $27$ .

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Étape 11.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.6

Réécrivez $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ comme un produit.

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.7

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.12

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.13

Réécrivez $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ comme un produit.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.14

Multipliez $\frac{1}{27}$ par $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.15

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

Étape 11.3.16

Multipliez $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ par $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

Étape 11.3.17

Associez.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.18

Appliquez la propriété distributive.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.19

Associez $\frac{1}{27 \ln (3)}$ et $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.20

Associez $\frac{27}{27 \ln (3)}$ et $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.21

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 11.3.21.1

Annulez le facteur commun.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.21.2

Réécrivez l’expression.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.22

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 11.3.22.1

Annulez le facteur commun.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.22.2

Réécrivez l’expression.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.23

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.24

Associez $\frac{1}{\ln (3)}$ et $- 27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.25

Associez $\frac{- 27}{\ln (3)}$ et $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.26

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 11.3.26.1

Annulez le facteur commun.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.26.2

Divisez $- 27$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.27

Soustrayez $27$ de $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

Étape 11.3.28

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

Étape 11.3.29

Élevez $\ln (3)$ à la puissance $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

Étape 11.3.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

Étape 11.3.31

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 11.3.32

Placez le signe moins devant la fraction.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 11.3.33

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 11.3.34

Multipliez $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Divisez $0$ par $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 12.2

Additionnez $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ et $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 12.4

Multipliez $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ .

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Étape 12.4.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 12.4.2

Associez $- 10$ et $\frac{1}{9 \ln (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 12.5

Multipliez $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

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Étape 12.5.1

Associez $10$ et $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 12.5.2

Multipliez $10$ par $26$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

Forme décimale :

$6.96711259 \dots$

Étape 14