Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} 1 + 6 w^{2} - 10 w^{4} d w$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} d w + \int_{0}^{3} 6 w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$w]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $w$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$w]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} w^{2} d w + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{2}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{3} w^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $w^{3}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 10 w^{4} d w$

Étape 6

Comme $- 10$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 10$ en dehors de l’intégrale.

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 \int_{0}^{3} w^{4} d w$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{4}$ par rapport à $w$ est $\frac{1}{5} w^{5}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{1}{5} w^{5}]_{0}^{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $w^{5}$ .

$w]_{0}^{3} + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $w$ sur $3$ et sur $0$ .

$(3) + 0 + 6 (\frac{w^{3}}{3}]_{0}^{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{w^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 + 0 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{w^{5}}{5}]_{0}^{3})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{w^{5}}{5}$ sur $3$ et sur $0$ .

$3 + 0 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

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Étape 8.2.4.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 + 6 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$3 + 6 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + 6 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + 6 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.3.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$3 + 6 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 + 6 (9 - \frac{0}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.2.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$3 + 6 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 + 6 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + 6 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + 6 (9 - \frac{0}{1}) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 + 6 (9 - 0) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 + 6 (9 + 0) - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.7

Additionnez $9$ et $0$ .

$3 + 6 \cdot 9 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.8

Multipliez $6$ par $9$ .

$3 + 54 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.9

Additionnez $3$ et $54$ .

$57 - 10 (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.10

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

Étape 8.2.4.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 8.2.4.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 8.2.4.12.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 8.2.4.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.12.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$57 - 10 (\frac{243}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.4.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} - 0)$

Étape 8.2.4.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5} + 0)$

Étape 8.2.4.14

Additionnez $\frac{243}{5}$ et $0$ .

$57 - 10 (\frac{243}{5})$

Étape 8.2.4.15

Associez $- 10$ et $\frac{243}{5}$ .

$57 + \frac{- 10 \cdot 243}{5}$

Étape 8.2.4.16

Multipliez $- 10$ par $243$ .

$57 + \frac{- 2430}{5}$

Étape 8.2.4.17

Annulez le facteur commun à $- 2430$ et $5$ .

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Étape 8.2.4.17.1

Factorisez $5$ à partir de $- 2430$ .

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5}$

Étape 8.2.4.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.4.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5 (1)}$

Étape 8.2.4.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$57 + \frac{5 \cdot - 486}{5 \cdot 1}$

Étape 8.2.4.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$57 + \frac{- 486}{1}$

Étape 8.2.4.17.2.4

Divisez $- 486$ par $1$ .

$57 - 486$

Étape 8.2.4.18

Soustrayez $486$ de $57$ .

$- 429$

Étape 9