Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} 200 e^{0.1 t} d t$

Étape 1

Comme $200$ est constant par rapport à $t$ , placez $200$ en dehors de l’intégrale.

$200 \int_{0}^{3} e^{0.1 t} d t$

Étape 2

Laissez $u = 0.1 t$ . Alors $d u = 0.1 d t$ , donc $\frac{1}{0.1} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 0.1 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $0.1 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.1 t]$

Étape 2.1.2

Comme $0.1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.1 t$ par rapport à $t$ est $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.1 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.1 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $0.1$ par $1$ .

$0.1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 0.1 t$ .

$u_{lower} = 0.1 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $0.1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 0.1 t$ .

$u_{upper} = 0.1 \cdot 3$

Étape 2.5

Multipliez $0.1$ par $3$ .

$u_{upper} = 0.3$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0.3$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$200 \int_{0}^{0.3} e^{u} \frac{1}{0.1} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{0.1}$ .

$200 \int_{0}^{0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{0.1}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.1}$ en dehors de l’intégrale.

$200 (\frac{1}{0.1} \int_{0}^{0.3} e^{u} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{0.1}$ et $200$ .

$\frac{200}{0.1} \int_{0}^{0.3} e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{200}{0.1} e^{u}]_{0}^{0.3}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $e^{u}$ sur $0.3$ et sur $0$ .

$\frac{200}{0.1} ((e^{0.3}) - e^{0})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{200}{0.1} (e^{0.3} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{200}{0.1} (e^{0.3} - 1)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Divisez $200$ par $0.1$ .

$2000 (e^{0.3} - 1)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2000 e^{0.3} + 2000 \cdot - 1$

Étape 8.3

Multipliez $2000$ par $- 1$ .

$2000 e^{0.3} - 2000$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2000 e^{0.3} - 2000$

Forme décimale :

$699.71761515 \dots$

Étape 10