Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} - 4 x + 3 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 4 x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$7 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + 3 x]_{0}^{4}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{4}$

Étape 9.3

Évaluez $3 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$7 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$7 (\frac{64}{3} - 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$7 (\frac{64}{3} + 0) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.5

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$7 (\frac{64}{3}) - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.6

Associez $7$ et $\frac{64}{3}$ .

$\frac{7 \cdot 64}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.7

Multipliez $7$ par $64$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.9

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{448}{3} - 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{448}{3} - 4 (8 - \frac{0}{1}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 - 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 (8 + 0) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.13

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{448}{3} - 4 \cdot 8 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.14

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$\frac{448}{3} - 32 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.15

Pour écrire $- 32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} - 32 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.16

Associez $- 32$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{448}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{448 - 32 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.18.1

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$\frac{448 - 96}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.18.2

Soustrayez $96$ de $448$ .

$\frac{352}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.19

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{352}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{352}{3} + 12 + 0$

Étape 9.4.21

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{352}{3} + 12$

Étape 9.4.22

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.4.23

Associez $12$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{352}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Étape 9.4.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{352 + 12 \cdot 3}{3}$

Étape 9.4.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.25.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{352 + 36}{3}$

Étape 9.4.25.2

Additionnez $352$ et $36$ .

$\frac{388}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{388}{3}$

Forme décimale :

$129.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$129 \frac{1}{3}$

Étape 11