Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} 4 x - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} 4 x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{0}^{4} x d x + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 3 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$4 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 (8 - \frac{0}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 8.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$4 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (8 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 (8 - 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$4 (8 + 0) - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.6

Additionnez $8$ et $0$ .

$4 \cdot 8 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.7

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.12

Multipliez $2$ par $8$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.13

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 8.2.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 8.2.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 8.2.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Étape 8.2.3.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Étape 8.2.3.17

Multipliez $2$ par $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 8.2.3.18

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.18.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 8.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 - 3 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.3.18.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} - 0)$

Étape 8.2.3.19

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3} + 0)$

Étape 8.2.3.20

Additionnez $\frac{16}{3}$ et $0$ .

$32 - 3 (\frac{16}{3})$

Étape 8.2.3.21

Associez $- 3$ et $\frac{16}{3}$ .

$32 + \frac{- 3 \cdot 16}{3}$

Étape 8.2.3.22

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$32 + \frac{- 48}{3}$

Étape 8.2.3.23

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $3$ .

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Étape 8.2.3.23.1

Factorisez $3$ à partir de $- 48$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3}$

Étape 8.2.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.23.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 (1)}$

Étape 8.2.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$32 + \frac{3 \cdot - 16}{3 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$32 + \frac{- 16}{1}$

Étape 8.2.3.23.2.4

Divisez $- 16$ par $1$ .

$32 - 16$

Étape 8.2.3.24

Soustrayez $16$ de $32$ .

$16$

Étape 9