Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

Étape 1

Laissez $y = 5 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d y = 5 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ est positif.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $25 \cos^{2} (t)$ comme ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 9.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

Étape 9.5

Multipliez $2$ par $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

Étape 9.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

Étape 9.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $t$ sur $0.92729521$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

Étape 13.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $1.85459043$ et sur $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

Étape 13.3

Additionnez $0.92729521$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

Étape 14.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

Étape 14.3

Additionnez $\sin (1.85459043)$ et $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

Étape 14.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

Étape 14.5

Additionnez $0.92729521$ et $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

Étape 14.6

Associez $\frac{25}{2}$ et $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

Étape 14.7

Multipliez $25$ par $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

Étape 15

Divisez $35.18238045$ par $2$ .

$17.59119022$

Étape 16