Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} 6 + 6 y - y^{2} d y$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 6 d y + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$6 y]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} 6 y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $y$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 y]_{0}^{3} + 6 \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{2} d y$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$6 y]_{0}^{3} + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Évaluez $6 y$ sur $3$ et sur $0$ .

$(6 \cdot 3) - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3})$

Étape 8.2.3

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$6 \cdot 3 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 - 6 \cdot 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$18 + 0 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.3

Additionnez $18$ et $0$ .

$18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} - 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2} + 0) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.8

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$18 + 6 (\frac{9}{2}) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.9

Associez $6$ et $\frac{9}{2}$ .

$18 + \frac{6 \cdot 9}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.10

Multipliez $6$ par $9$ .

$18 + \frac{54}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11

Annulez le facteur commun à $54$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $54$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 (1)} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$18 + \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 + \frac{27}{1} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.11.2.4

Divisez $27$ par $1$ .

$18 + 27 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.12

Additionnez $18$ et $27$ .

$45 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.13

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$45 - (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$45 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$45 - (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.14.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$45 - (9 - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 8.2.4.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$45 - (9 - \frac{0}{3})$

Étape 8.2.4.16

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.16.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$45 - (9 - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 8.2.4.16.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$45 - (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.4.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$45 - (9 - \frac{0}{1})$

Étape 8.2.4.16.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$45 - (9 - 0)$

Étape 8.2.4.17

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$45 - (9 + 0)$

Étape 8.2.4.18

Additionnez $9$ et $0$ .

$45 - 1 \cdot 9$

Étape 8.2.4.19

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$45 - 9$

Étape 8.2.4.20

Soustrayez $9$ de $45$ .

$36$

Étape 9