Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{25} \sqrt{x} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{25} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $25$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $125$ .

$\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.6

Multipliez $2$ par $125$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Étape 3.2.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Étape 3.2.12

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{250}{3} + 0$

Étape 3.2.13

Additionnez $\frac{250}{3}$ et $0$ .

$\frac{250}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{250}{3}$

Forme décimale :

$83.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$83 \frac{1}{3}$

Étape 5