Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} - x^{3} + 3 x^{2} - 2 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} - x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 2 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 2 x]_{0}^{3}$

Étape 9.3

Évaluez $- 2 x$ sur $3$ et sur $0$ .

$- (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (\frac{81}{4} + 0) + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.5

Additionnez $\frac{81}{4}$ et $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.7

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 9.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{4} + 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.7.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 - 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 (9 + 0) + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.11

Additionnez $9$ et $0$ .

$- \frac{81}{4} + 3 \cdot 9 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.12

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{81}{4} + 27 + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.13

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.14

Associez $27$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{81}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 81 + 27 \cdot 4}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.16.1

Multipliez $27$ par $4$ .

$\frac{- 81 + 108}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.16.2

Additionnez $- 81$ et $108$ .

$\frac{27}{4} + (- 2 \cdot 3) + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.17

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{27}{4} - 6 + 2 \cdot 0$

Étape 9.4.18

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{27}{4} - 6 + 0$

Étape 9.4.19

Additionnez $- 6$ et $0$ .

$\frac{27}{4} - 6$

Étape 9.4.20

Pour écrire $- 6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 9.4.21

Associez $- 6$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4}$

Étape 9.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 - 6 \cdot 4}{4}$

Étape 9.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.23.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{27 - 24}{4}$

Étape 9.4.23.2

Soustrayez $24$ de $27$ .

$\frac{3}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{4}$

Forme décimale :

$0.75$

Étape 11