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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 2
Étape 2.1
Laissez . Déterminez .
Étape 2.1.1
Différenciez .
Étape 2.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.1.4
Multipliez par .
Étape 2.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 2.3
Multipliez par .
Étape 2.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 2.5
Multipliez par .
Étape 2.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 2.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 3
Associez et .
Étape 4
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 5
Étape 5.1
Simplifiez
Étape 5.1.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2
Développez .
Étape 5.2.1
Réécrivez comme .
Étape 5.2.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.4
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.5
Remettez dans l’ordre et .
Étape 5.2.6
Multipliez par .
Étape 5.2.7
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.8
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.9
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.2.10
Additionnez et .
Étape 5.2.11
Additionnez et .
Étape 6
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 7
Appliquez la règle de la constante.
Étape 8
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 9
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 10
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 11
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 12
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 13
Appliquez la règle de la constante.
Étape 14
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 15
Étape 15.1
Laissez . Déterminez .
Étape 15.1.1
Différenciez .
Étape 15.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 15.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 15.1.4
Multipliez par .
Étape 15.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 15.3
Multipliez par .
Étape 15.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 15.5
Multipliez par .
Étape 15.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 15.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 16
Associez et .
Étape 17
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 18
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 19
Étape 19.1
Évaluez sur et sur .
Étape 19.2
Évaluez sur et sur .
Étape 19.3
Évaluez sur et sur .
Étape 19.4
Évaluez sur et sur .
Étape 19.5
Simplifiez
Étape 19.5.1
Multipliez par .
Étape 19.5.2
Multipliez par .
Étape 19.5.3
Additionnez et .
Étape 19.5.4
Additionnez et .
Étape 20
Étape 20.1
La valeur exacte de est .
Étape 20.2
La valeur exacte de est .
Étape 20.3
Multipliez par .
Étape 20.4
Additionnez et .
Étape 20.5
Associez et .
Étape 21
Étape 21.1
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 21.2
La valeur exacte de est .
Étape 21.3
Multipliez par .
Étape 21.4
Additionnez et .
Étape 21.5
Multipliez par .
Étape 21.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 21.6.1
Soustrayez des rotations complètes de jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à et inférieur à .
Étape 21.6.2
La valeur exacte de est .
Étape 21.7
Divisez par .
Étape 21.8
Multipliez par .
Étape 21.9
Additionnez et .
Étape 21.10
Annulez le facteur commun de .
Étape 21.10.1
Factorisez à partir de .
Étape 21.10.2
Annulez le facteur commun.
Étape 21.10.3
Réécrivez l’expression.
Étape 21.11
Additionnez et .
Étape 21.12
Additionnez et .
Étape 21.13
Annulez le facteur commun de .
Étape 21.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 21.13.2
Factorisez à partir de .
Étape 21.13.3
Annulez le facteur commun.
Étape 21.13.4
Réécrivez l’expression.
Étape 21.14
Associez et .
Étape 21.15
Associez et .
Étape 22
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :