Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Étape 1.5.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $1$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1 - 1}{3}$

Étape 5.2.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{0}{3}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 5.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- \frac{3 (0)}{3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{0}{1}$

Étape 5.2.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 0$

Étape 5.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$