Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

Étape 1

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Étape 5.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $x$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

Étape 9.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $4 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Étape 9.3

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Étape 10.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Étape 10.3

Additionnez $\sin (4 π)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Étape 10.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

Étape 11.1.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

Étape 11.1.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

Étape 11.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 (π))$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 π)$

Étape 11.3.3

Réécrivez l’expression.

$π$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$π$

Forme décimale :

$3.14159265 \dots$