Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$u_{upper} = 8$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ sur $8$ et sur $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{3}{4}$ et $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7

Annulez le facteur commun à $48$ et $4$ .

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Étape 6.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.8

Associez $4^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

Étape 6.2.9

Déplacez $3$ à gauche de $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

Étape 6.2.10

Placez $4^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

Étape 6.2.11

Multipliez $4^{\frac{4}{3}}$ par $4^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.11.1

Déplacez $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

Étape 6.2.11.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

Étape 6.2.11.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Étape 6.2.11.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

Étape 6.2.11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

Étape 6.2.11.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.11.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

Étape 6.2.11.6.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

Étape 6.2.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 7.3.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Forme décimale :

$3.61889842 \dots$

Étape 9