Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{20} | x - 10 | d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale selon là où $x - 10$ est positif et négatif.

$\int_{0}^{10} - x + 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{10} - x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{10} x d x + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 d x + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x - 10 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \int_{10}^{20} x d x + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + \int_{10}^{20} - 10 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20} + - 10 x]_{10}^{20}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{10}^{20}$ et $- 10 x]_{10}^{20}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Étape 10.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $10$ et sur $0$ .

$- ((\frac{10^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 10 x]_{0}^{10} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Étape 10.2.2

Évaluez $10 x$ sur $10$ et sur $0$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x]_{10}^{20}$

Étape 10.2.3

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - 10 x$ sur $20$ et sur $10$ .

$- (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4

Simplifiez

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Étape 10.2.4.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$- (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.2

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$- (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.2.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$- (50 - \frac{0^{2}}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (50 - \frac{0}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- (50 - \frac{2 (0)}{2}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (50 - \frac{0}{1}) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (50 - 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- (50 + 0) + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.6

Additionnez $50$ et $0$ .

$- 1 \cdot 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.7

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$- 50 + 10 \cdot 10 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.8

Multipliez $10$ par $10$ .

$- 50 + 100 - 10 \cdot 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.9

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$- 50 + 100 + 0 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.10

Additionnez $100$ et $0$ .

$- 50 + 100 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.11

Additionnez $- 50$ et $100$ .

$50 + (\frac{1}{2} \cdot 20^{2} - 10 \cdot 20) - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.12

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$50 + \frac{1}{2} \cdot 400 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $400$ .

$50 + \frac{400}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.14

Annulez le facteur commun à $400$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $400$ .

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$50 + \frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$50 + \frac{200}{1} - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.14.2.4

Divisez $200$ par $1$ .

$50 + 200 - 10 \cdot 20 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.15

Multipliez $- 10$ par $20$ .

$50 + 200 - 200 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.16

Soustrayez $200$ de $200$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 10^{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.17

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$50 + 0 - (\frac{1}{2} \cdot 100 - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.18

Associez $\frac{1}{2}$ et $100$ .

$50 + 0 - (\frac{100}{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.19

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 10.2.4.19.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.4.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$50 + 0 - (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$50 + 0 - (\frac{50}{1} - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.19.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$50 + 0 - (50 - 10 \cdot 10)$

Étape 10.2.4.20

Multipliez $- 10$ par $10$ .

$50 + 0 - (50 - 100)$

Étape 10.2.4.21

Soustrayez $100$ de $50$ .

$50 + 0 - - 50$

Étape 10.2.4.22

Multipliez $- 1$ par $- 50$ .

$50 + 0 + 50$

Étape 10.2.4.23

Additionnez $0$ et $50$ .

$50 + 50$

Étape 10.2.4.24

Additionnez $50$ et $50$ .

$100$

Étape 11