Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

Étape 1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , placez $18$ en dehors de l’intégrale.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

Étape 2

Laissez $u = 3 x + 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 3 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 2.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$u_{upper} = 7$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

Étape 3

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $3$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

Étape 7

Associez $\frac{1}{6}$ et $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{u^{6}}{6}$ sur $7$ et sur $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Élevez $7$ à la puissance $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

Étape 8.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 8.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

Étape 8.2.4

Soustrayez $1$ de $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun à $117648$ et $6$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $6$ à partir de $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

Étape 8.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.5.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

Étape 8.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

Étape 8.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{19608}{1})$

Étape 8.2.5.2.4

Divisez $19608$ par $1$ .

$6 \cdot 19608$

Étape 8.2.6

Multipliez $6$ par $19608$ .

$117648$

Étape 9