Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y$

Étape 1

Laissez $u = 2 y^{2} - 3$ . Alors $d u = 4 y d y$ , donc $\frac{1}{4} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 y^{2} - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2} - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 y + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 y$ et $0$ .

$4 y$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2 {(- 1)}^{2} - 3$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 3$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{lower} = 2 - 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0^{2} - 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0 - 3$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{upper} = 0 - 3$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$u_{upper} = - 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 1}^{- 3} u^{5} \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $u^{5}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{- 3} \frac{u^{5}}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{- 3} u^{5} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{- 1}^{- 3}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6}$ sur $- 3$ et sur $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {(- 3)}^{6}) - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{6}$ et $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun à $729$ et $6$ .

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

Étape 5.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{243}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.9.1

Multipliez $243$ par $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Étape 5.2.9.2

Soustrayez $1$ de $729$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{728}{6}$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun à $728$ et $6$ .

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Étape 5.2.10.1

Factorisez $2$ à partir de $728$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Étape 5.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Étape 5.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{364}{3}$

Étape 5.2.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{364}{12}$

Étape 5.2.13

Annulez le facteur commun à $364$ et $12$ .

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Étape 5.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $364$ .

$\frac{4 (91)}{12}$

Étape 5.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{91}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{91}{3}$

Forme décimale :

$30.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$30 \frac{1}{3}$

Étape 7