Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 3

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 3.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

Étape 3.3

Multipliez $π$ par $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

Étape 3.5

Multipliez $π$ par $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 4

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 5

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{π}$ et $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 7

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

Étape 8

Multipliez $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Étape 11

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Étape 13

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Étape 15

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Évaluez $\sin (u)$ sur $1.57079632$ et sur $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Étape 15.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $0.5$ et sur $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

Étape 15.3

Évaluez $3 x$ sur $0.5$ et sur $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.5

Multipliez $\frac{0.125}{3}$ par $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.7

Additionnez $0.125$ et $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.8

Associez $- 12$ et $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.9

Multipliez $- 12$ par $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.10

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.10.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.10.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.11

Multipliez $3$ par $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

Étape 15.4.12

Multipliez $- 3$ par $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

Étape 15.4.13

Additionnez $1.5$ et $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

Étape 15.4.14

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

Étape 16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Étape 16.1.2

Associez $\frac{4}{π}$ et $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

Étape 16.1.3

Associez $\frac{4}{π}$ et $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Étape 16.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.4.1

Évaluez $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Étape 16.1.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

Étape 16.1.4.3

Évaluez $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

Étape 16.1.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

Étape 16.1.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

Étape 16.1.4.6

Multipliez $- - \frac{4}{π}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

Étape 16.1.4.6.2

Multipliez $\frac{4}{π}$ par $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

Étape 16.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

Étape 16.1.6

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

Étape 16.2

Additionnez $\frac{8}{π}$ et $2$ .

$4.54647908$