Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

Étape 1.3

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Étape 1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\cot (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

Étape 4

L’intégrale de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| \sin (u) |)$ sur $1$ et sur $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

Forme décimale :

$- 0.65541022 \dots$