Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $u^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Étape 7.1.2

Placez $u^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{1}{6} u^{6}$ sur $\sqrt{2}$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

Étape 7.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 u^{2}}$ sur $\sqrt{2}$ et sur $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{6}$ comme $2^{3}$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 7.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 7.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.7

Pour écrire $\frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.8.1

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.10.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.10.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.12

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.3.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.3.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.13.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.14

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 7.2.3.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 7.2.3.16

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

Étape 7.2.3.17

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.2.3.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.18.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

Étape 7.2.3.18.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

Étape 7.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

Étape 7.2.3.20

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

Étape 7.2.3.21

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 7.2.3.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $24$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.22.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

Étape 7.2.3.22.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

Étape 7.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 - 6}{24}$

Étape 7.2.3.24

Soustrayez $6$ de $7$ .

$\frac{1}{24}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{24}$

Forme décimale :

$0.041\overline{6}$

Étape 9