Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ comme $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 3

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $4$ de l’exposant.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

Étape 3.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

Étape 3.5.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.2.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 6.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (8 - \frac{0}{2})$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

Étape 6.2.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (8 - 0)$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (8 + 0)$

Étape 6.2.6

Additionnez $8$ et $0$ .

$3 \cdot 8$

Étape 6.2.7

Multipliez $3$ par $8$ .

$24$