Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

Étape 1.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2} u d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{2} u^{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 3.2.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

Étape 3.2.7

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$