Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 1 - x \cos (x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Étape 2

Appliquez la règle de la constante.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - x \cos (x) d x$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} x \cos (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \sin (x) d x)$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x]_{0}^{π} - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Évaluez $x$ sur $π$ et sur $0$ .

$(π) + 0 - (x \sin (x)]_{0}^{π} - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Étape 6.1.2

Évaluez $x \sin (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$(π) + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{π}))$

Étape 6.1.3

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$π + 0 - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Additionnez $π$ et $0$ .

$π - ((π \sin (π)) + 0 \sin (0) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

$π - (π \sin (π) + 0 - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Étape 6.1.4.3

Additionnez $π \sin (π)$ et $0$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + \cos (0)))$

Étape 6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π - (π \sin (π) - (- \cos (π) + 1))$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$π - (π \sin (0) - (- \cos (π) + 1))$

Étape 6.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π - (π \cdot 0 - (- \cos (π) + 1))$

Étape 6.3.3

Multipliez $π$ par $0$ .

$π - (0 - (- \cos (π) + 1))$

Étape 6.3.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$π - (0 - (- - \cos (0) + 1))$

Étape 6.3.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π - (0 - (- (- 1 \cdot 1) + 1))$

Étape 6.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π - (0 - (- - 1 + 1))$

Étape 6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π - (0 - (1 + 1))$

Étape 6.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$π - (0 - 1 \cdot 2)$

Étape 6.3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$π - (0 - 2)$

Étape 6.3.10

Soustrayez $2$ de $0$ .

$π - - 2$

Étape 6.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$π + 2$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$π + 2$

Forme décimale :

$5.14159265 \dots$