Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 10.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 10.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

Étape 10.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

Étape 10.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Étape 10.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $u_{1}$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

Étape 14.2

Évaluez $\sin (u_{2})$ sur $4 π$ et sur $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

Étape 14.3

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

Étape 15.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

Étape 15.3

Additionnez $\sin (4 π)$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

Étape 15.4

Associez $\sin (4 π)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

Étape 16.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

Étape 16.2

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

Étape 16.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

Étape 16.4

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π)$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

Étape 16.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

Étape 16.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

Étape 16.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} π$

Étape 16.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $π$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$