Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{4} + 27)$

Étape 1

Écrivez $\ln (x^{4} + 27)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 2.1.2.3

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Étape 2.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Étape 2.1.2.4.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Étape 2.1.2.4.3

Associez $\frac{4}{x^{4} + 27}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.5

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.6.1

Additionnez $4 x^{3}$ et $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Associez $4$ et $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.6.4.1.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.6.4.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.1.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.3

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.4

Multipliez $81$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.2.6.4.2

Soustrayez $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

Étape 3.3.1.1.2

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

Étape 3.3.1.1.3

Factorisez $- 4 x^{2}$ à partir de $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Étape 3.3.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Étape 3.3.1.5

Factorisez.

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Étape 3.3.1.5.1

Simplifiez

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Étape 3.3.1.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Étape 3.3.1.5.1.2

Factorisez.

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Étape 3.3.1.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Étape 3.3.1.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 3.3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 3.3.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.4

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.4.1

Définissez $x^{2} + 9$ égal à $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 3.3.4.2

Résolvez $x^{2} + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 3.3.4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 3.3.4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 3.3.4.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 3.3.4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 3.3.4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 3.3.4.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.3.4.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 3.3.4.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 3.3.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 3.3.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 3.3.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 3.3.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.3.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.3.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.3.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 27)$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ est $(0, \ln (27))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, \ln (27))$

Étape 4.3

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $81$ et $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ est $(- 3, \ln (108))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, \ln (108))$

Étape 4.5

Remplacez $3$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $81$ et $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Étape 4.5.2.3

La réponse finale est $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $3$ dans $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ est $(3, \ln (108))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3, \ln (108))$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $324$ par $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $- 3550.014724$ et $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $92.3521$ et $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $119.3521$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Étape 6.2.3

Divisez $- 436.374724$ par $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Étape 6.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $- 0.0306337$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.7

Réécrivez $- 1 (\frac{729}{16})$ comme $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $81$ par $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.15

Pour écrire $729$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.16

Associez $729$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.18.1

Multipliez $729$ par $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.1.18.2

Additionnez $- 729$ et $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Associez $27$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.9.1

Multipliez $27$ par $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9.2

Additionnez $81$ et $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Étape 7.2.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Étape 7.2.2.11

Élevez $513$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Étape 7.2.2.12

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Étape 7.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 7.2.4.1

Factorisez $729$ à partir de $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Étape 7.2.4.2

Factorisez $729$ à partir de $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Étape 7.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Étape 7.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 7.2.5.1

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Étape 7.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Étape 7.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Étape 7.2.6

Associez $15$ et $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Étape 7.2.7

Multipliez $15$ par $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Étape 7.3

Sur $- \frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $0.66481994$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.5

Réécrivez $- 1 (\frac{729}{16})$ comme $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.10

Multipliez $81$ par $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.11

Pour écrire $729$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.12

Associez $729$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.14.1

Multipliez $729$ par $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.1.14.2

Additionnez $- 729$ et $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Pour écrire $27$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Associez $27$ et $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Étape 8.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.7.1

Multipliez $27$ par $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7.2

Additionnez $81$ et $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

Étape 8.2.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

Étape 8.2.2.9

Élevez $513$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

Étape 8.2.2.10

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

Étape 8.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Étape 8.2.4

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 8.2.4.1

Factorisez $729$ à partir de $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

Étape 8.2.4.2

Factorisez $729$ à partir de $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Étape 8.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

Étape 8.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

Étape 8.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

Étape 8.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

Étape 8.2.6

Associez $15$ et $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

Étape 8.2.7

Multipliez $15$ par $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

Étape 8.2.8

La réponse finale est $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

Étape 8.3

Sur $\frac{3}{2}$ , la dérivée seconde est $0.66481994$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, 3)$ .

Augmente sur $(0, 3)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3.1$ dans l’expression.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $3.1$ à la puissance $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Élevez $3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $324$ par $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5

Additionnez $- 3550.014724$ et $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $3.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $92.3521$ et $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $119.3521$ à la puissance $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

Étape 9.2.3

Divisez $- 436.374724$ par $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

Étape 9.3

Sur $3.1$ , la dérivée seconde est $- 0.0306337$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(3, \infty)$

Diminue sur $(3, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

Étape 11