Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

Étape 2

Laissez $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Alors $d u = 4 \sin (t) d t$ , donc $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 - 4 \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 4 \cos (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Étape 2.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 \cos (t)$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

Étape 2.1.4

Additionnez $0$ et $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $t$ dans $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $t$ dans $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

Étape 2.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

Étape 2.5.1.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Étape 2.5.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $u^{\frac{1}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{4}}$ par rapport à $u$ est $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Étape 7.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Étape 8.2

Associez.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

Étape 8.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

Étape 8.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Étape 8.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

Étape 8.5.4

Divisez $9^{\frac{5}{4}}$ par $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

Forme décimale :

$14.58845726 \dots$