Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Étape 2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Étape 3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 7 x$ . Alors $d u = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 4.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Étape 4.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 π$

Étape 4.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

Étape 4.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{7}$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $- \cos (x)$ sur $π$ et sur $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

Étape 8.2

Évaluez $- \cos (u)$ sur $7 π$ et sur $0$ .

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

Étape 8.3

Supprimez les parenthèses.

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

Étape 9.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.6

Multipliez $7$ par $2$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

Étape 10.7

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

Étape 10.8

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

Étape 10.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Étape 10.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

Étape 10.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

Étape 10.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

Étape 10.13

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$14 + \frac{2}{7}$

Étape 10.14

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

Étape 10.15

Associez $14$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

Étape 10.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

Étape 10.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.17.1

Multipliez $14$ par $7$ .

$\frac{98 + 2}{7}$

Étape 10.17.2

Additionnez $98$ et $2$ .

$\frac{100}{7}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{100}{7}$

Forme décimale :

$14.28571428 \dots$

Forme de nombre mixte :

$14 \frac{2}{7}$