Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} 2 u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 1}^{1} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 4

Associez $\frac{3}{4}$ et $u^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{3 u^{\frac{5}{3}}}{5}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$2 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{3 - 3}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$2 (\frac{0}{4}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$2 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{0}{1}) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 \cdot 0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.11

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.13

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.14

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 7.2.3.15

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 7.2.3.16

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.16.1

Annulez le facteur commun.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 7.2.3.16.2

Réécrivez l’expression.

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 7.2.3.17

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Étape 7.2.3.18

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5})$

Étape 7.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{3}{5} - - \frac{3}{5})$

Étape 7.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5}))$

Étape 7.2.3.21

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$0 - (\frac{3}{5} + \frac{3}{5})$

Étape 7.2.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{3 + 3}{5}$

Étape 7.2.3.23

Additionnez $3$ et $3$ .

$0 - \frac{6}{5}$

Étape 7.2.3.24

Soustrayez $\frac{6}{5}$ de $0$ .

$- \frac{6}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{6}{5}$

Forme décimale :

$- 1.2$

Forme de nombre mixte :

$- 1 \frac{1}{5}$

Étape 9