Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} + 3 x + 6 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{10} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{1}^{10} x^{2} d x + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 3 x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 \int_{1}^{10} x d x + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + \int_{1}^{10} 6 d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{10}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $10$ et sur $1$ .

$3 ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{10}) + 6 x]_{1}^{10}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $10$ et sur $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 6 x]_{1}^{10}$

Étape 9.3

Évaluez $6 x$ sur $10$ et sur $1$ .

$3 (\frac{10^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1000 - 1}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.4

Soustrayez $1$ de $1000$ .

$3 (\frac{999}{3}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.5

Annulez le facteur commun à $999$ et $3$ .

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Étape 9.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $999$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 (1)} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3 \cdot 333}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{333}{1}) + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.5.2.4

Divisez $333$ par $1$ .

$3 \cdot 333 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.6

Multipliez $3$ par $333$ .

$999 + 3 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.7

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$999 + 3 (\frac{100}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.8

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 9.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$999 + 3 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$999 + 3 (\frac{50}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.8.2.4

Divisez $50$ par $1$ .

$999 + 3 (50 - \frac{1^{2}}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$999 + 3 (50 - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.10

Pour écrire $50$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (50 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.11

Associez $50$ et $\frac{2}{2}$ .

$999 + 3 (\frac{50 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$999 + 3 \frac{50 \cdot 2 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.13.1

Multipliez $50$ par $2$ .

$999 + 3 \frac{100 - 1}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.13.2

Soustrayez $1$ de $100$ .

$999 + 3 (\frac{99}{2}) + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.14

Associez $3$ et $\frac{99}{2}$ .

$999 + \frac{3 \cdot 99}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.15

Multipliez $3$ par $99$ .

$999 + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.16

Pour écrire $999$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$999 \cdot \frac{2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.17

Associez $999$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{999 \cdot 2}{2} + \frac{297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{999 \cdot 2 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.19.1

Multipliez $999$ par $2$ .

$\frac{1998 + 297}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.19.2

Additionnez $1998$ et $297$ .

$\frac{2295}{2} + (6 \cdot 10) - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.20

Multipliez $6$ par $10$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6 \cdot 1$

Étape 9.4.21

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{2295}{2} + 60 - 6$

Étape 9.4.22

Soustrayez $6$ de $60$ .

$\frac{2295}{2} + 54$

Étape 9.4.23

Pour écrire $54$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.4.24

Associez $54$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2295}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Étape 9.4.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2295 + 54 \cdot 2}{2}$

Étape 9.4.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.26.1

Multipliez $54$ par $2$ .

$\frac{2295 + 108}{2}$

Étape 9.4.26.2

Additionnez $2295$ et $108$ .

$\frac{2403}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2403}{2}$

Forme décimale :

$1201.5$

Forme de nombre mixte :

$1201 \frac{1}{2}$

Étape 11