Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} + 3 x^{2} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} 8 x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Étape 2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Étape 7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$8 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Étape 7.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$8 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$8 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$8 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 (4 - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$8 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.5

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$8 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.7.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 \frac{16 - 1}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.7.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$8 (\frac{15}{4}) + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.8

Associez $8$ et $\frac{15}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 15}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.9

Multipliez $8$ par $15$ .

$\frac{120}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10

Annulez le facteur commun à $120$ et $4$ .

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Étape 7.2.3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $120$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 30}{4 (1)} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 30}{4 \cdot 1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{30}{1} + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.10.2.4

Divisez $30$ par $1$ .

$30 + 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Étape 7.2.3.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$30 + 3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 7.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$30 + 3 \frac{8 - 1}{3}$

Étape 7.2.3.14

Soustrayez $1$ de $8$ .

$30 + 3 (\frac{7}{3})$

Étape 7.2.3.15

Associez $3$ et $\frac{7}{3}$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Étape 7.2.3.16

Multipliez $3$ par $7$ .

$30 + \frac{21}{3}$

Étape 7.2.3.17

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 7.2.3.17.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3}$

Étape 7.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.17.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 (1)}$

Étape 7.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$30 + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$30 + \frac{7}{1}$

Étape 7.2.3.17.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$30 + 7$

Étape 7.2.3.18

Additionnez $30$ et $7$ .

$37$

Étape 8